MathJax記法の試し書き

はてながMathJaxに対応しているらしいので、試しに使用してみる。

題材は下記の問題の解答を書くこと、としてみる。

ここでは、 {n\geq 3} に対して下記の一般解を求めることから始める。

{ \displaystyle (a+b)(b+c)(c+a) = 2^n }

{ a \geq b \geq c} として一般性を損なわない。

右辺の素因数は2のべきなので、左辺の各項（？）は

{ \displaystyle a+b=2^k, b+c=2^l, c+a=2^m \tag{a} }

と書くことができる。ここで { a,b,c} の大小関係から
{ \displaystyle k \geq m \geq l \tag{b} }
が言える。

明らかに { a,b,c} いずれかに奇数があるとすると、他の2つも必ず奇数となる。逆に、いずれかに偶数があると、他の2つも必ず偶数となることが容易に言える。

上記から {a-b} は常に偶数であり、この差を {a-b=2d} と表すと、(a)の第一式から

{ \displaystyle a=2^{k-1}+d, b=2^{k-1}-d }

と書ける。また、これを(a)の第二式、第三式に適用すると
{ \displaystyle 2^{k-1}-d+c=2^l, c+2^{k-1}+d=2^m }
となり、
{ \displaystyle c=-2^{k-1}+2^{l-1}+2^{m-1} }
となる。

(b)より、 {c > 0} となるためには {k = m } が必要。(a)とあわせると {b = c} となる。

ここで奇数解の場合、 {b + c = 2^l} となりうるのは {b = c = 1} の時のみ。すなわち、{d=2^k-1} となり、解は

{ \displaystyle a=2^{k+1}-1, b=1, c=1(k\ge 0) \tag{c} }
となる。

一方、偶数解においては {n} に対する解 {( a,b,c)} がある場合、{(n-3)}
に対する解 { (a/2 , b/2 , c/2)} が必ず存在することが容易に確認できる。この関係を偶数解である限り繰り返したどることで、{n} に対する偶数解 {( a , b , c)} に対して、 {n-3*r} に対する奇数解 {( a/2^r, b/2^r , c/2^r)} を得ることができる。逆にいうと、偶数解はある {n_0} に対する奇数解 {( a_0,b_0,c_0)} を用いて {n_0+3*r} に対する解 {(2^ra_0, 2^rb_0 , 2^rc_0)(r > 0)} と表すことができる。

前記の議論から、すべての解は奇数解 {( a_0,b_0,c_0)} を用いて
{ \displaystyle (2^ra_0, 2^rb_0 , 2^rc_0)(r\ge 0) \tag{d} }
と表すことができる。

(c)における奇数解の定式化と(d)における一般化を踏まえれば {(k\ge 0,r\ge 0)} を用いて
{ \displaystyle a=2^r(2^{k+1}-1), b=2^r, c=2^r }
により {n\geq 3} におけるすべての解が得られることがわかる。なお、対応する {n} は
{\displaystyle n=(r+k+1)+(r+k+1)+(r+1)=3r+2k+3 \tag{e} }
であり、すべての { (k\ge 0,r\ge 0)} は異なる解を生成する。

原題は{n=2016}の解の数を求めるのであるから、(e)より {3r+2k+3=2016} を満たす { (k\ge 0,r\ge 0)} の組み合わせの個数を数えれば良い。

これに該当するのは {(k=0,r=671),(k=3,r=669),...,(k=1005,r=1)} の計336個である。

感想
  • 綺麗にかけるけど、MathJaxって表示遅いな、、、
  • タグはすべての環境で有効なんだろうか。不明。
  • 細かいことだがインラインの数式の前後にスペースを入れるのを忘れてはいけない。HTMLそのものが西洋言語向けの文化に基づいちゃってるので仕方ない部分はあるんだろうなとは思うけどめんどくさい。
  • TeXをよく知らないからなんだろうけど、displaystyleを使うときに前後に改行を入れるかどうかで左寄せかセンター寄せかが変わる？そういうもんなのか？