MathJaxの試し書き2

下記のお題で書く。積分や分数を含む式。


十分大きな {n} については {-\frac{\pi}{n}\le \theta \le \frac{\pi}{n}} において

{ \displaystyle \frac{1-\frac{1}{2}(\frac{\pi}{n})^2}{\frac{\pi}{n}+\pi}\le\frac{\cos\theta}{\theta + \pi}\le\frac{1}{-\frac{\pi}{n}+\pi} }

であるから

{ \displaystyle n \frac{2\pi}{n}\frac{1-\frac{1}{2}(\frac{\pi}{n})^2}{\frac{\pi}{n}+\pi}\le n\int^{\frac{\pi}{n}}_{-\frac{\pi}{n}}\frac{\cos\theta}{\theta + \pi}d\theta\le n\frac{2\pi}{n}\frac{1}{-\frac{\pi}{n}+\pi} }

{ \displaystyle \lim_{n \to \infty} n \frac{2\pi}{n}\frac{1-\frac{1}{2}(\frac{\pi}{n})^2}{\frac{\pi}{n}+\pi} = \lim_{n \to \infty} n\frac{2\pi}{n}\frac{1}{-\frac{\pi}{n}+\pi} = 2 }

より
{ \displaystyle \lim_{n \to \infty} n\int^{\frac{\pi}{n}}_{-\frac{\pi}{n}}\frac{\cos\theta}{\theta + \pi}d\theta = 2 }

感想

ここまで来たら何で書いても多分しんどい。数学やってる人はえらい。